Asal Mula Logaritma Natural

Logaritma basis standar terdiri dari dua macam yaitu : logaritma basis 10 dan logaritma basis bilangan natural atau bilangan alam dengan nilai pendekatan $e ≈ 2,7182818284591$. Bilangan itu disebut juga bilangan Euler. Definisi Logaritma natural atau logaritma alam adalah logaritma yang mempunyai basis (bilangan pokok) $e$ tersebut dan dituliskan dengan $ln x$. 

Asal mula bilangan $e$ 

Adalah wajar kita mempertanyakan dari mana asal mula bilangan e. Tentu tidak semudah itu suatu bilangan dijadikan konstanta tetap dalam matematika jika dia tidak memiliki manfaat yang besar dalam bidang matematika. Bilangan $e$ ditemukan saat seorang matematikawan mendefrensialkan fungsi logaritma. Misalkan fungsi logaritmanya adalah $y=^{a}log⁡x$ . Berapakah kemiringan fungsi ini di sebuah titik $x$ ?. Kemiringannya adalah 

 Karena $∆x$ adalah bagian yang sangat sangat kecil dari $x$ maka kita dapat mengungkapkan $x$ sebagai kelipatan dari $∆x$ yaitu $x=n∆x$ dengan nilai $n$ yang mendekati tak hingga. Oleh karena ini maka persamaan (1) menjadi

 

Untuk mendekati nilai limit dari $lim_{n->\infinity}(1+\frac{1}{n})^n$, disini digunakan langkah-langkah pendekatan mulai n=1 sampai n=1000000000 dengan bantuan komputer.

Nilai pendekatan ini disebut bilangan natural dan diberi lambang $e$. Nilai pendekatan $e$ terkini sampai saat ini dengan bantuan komputer dengan nilai n lebih dari 1 milyar adalah 2,7182818284590452353602874713527.

 

Dengan ditemukannya bilangan e maka turunan fungsi logaritma $y=^{a}logx$ adalah

Pentingnya mendefinisikan Logaritma natural sebagai jawaban pengintegralan $\int{x^{-1}}dx 

Pada masa awal ditemukannya cabang matematika kalkulus, mungkin pengintegralan fungsi $y=x^(-1)$ yang disebut fungsi harmonik masih menjadi teka teki bagi para matematikawan saat itu. Bagaimana tidak, perhatikan rumus pengintegralan untuk fungsi pangkat $y=x^n$ yaitu

 

 

 

Sekarang, untuk $n=-1$ yang didapatkan adalah

 

Yang merupakan jawaban yang tidak dapat dijangkau akal manusia karena pembagian oleh 0 tidak didefinisikan. Karena hasil ini maka rumus integrasi untuk fungsi pangkat $y=x^n$ dikecualikan untuk $n=-1$. Maka persamaan (4) menjadi

 

Berangkat dari kasus ini dan dengan ditemukannya deferensial/turunan fungsi logaritma, maka akan didapatkan kemiringan sebuah fungsi logaritma $dy/dx=1/x$ jika basis logaritma tersebut adalah bilangan e yang telah ditemukan tadi, yaitu

 

dan turunan persamaan (6) yang dihasilkan adalah sama dengan fungsi $y=x^(-1)$ yang pengintegralan-nya masih jadi teka teki bagi para matematikawan saat itu

 

 

Ini adalah turunan logaritma natural. Dengan menggunakan persamaan (6) sebagai anti turunan persamaan (7) maka pengintegralan fungsi harmonik terjawab

 

 

Mengingat fungsi harmonik sangat penting dalam matematika (dan bidang lainnya seperti fisika) maka dari sinilah bilangan e sangat penting untuk menjadi basis logaritma. Karena bilangan ini didapatkan secara alami, maka logaritma basis ini diberi nama logaritma natural/alam yang dituliskan dengan ln (logarithm of natural number), dan rumus logaritma natural didefinisikan dengan

 

 

Dengan menggunakan persamaan (9) maka persamaan (8) menjadi rumus matematika lntegral yang umum kita lihat sekarang

 

sifat logaritma natural sama dengan sifat logaritma pada umumnya, sbb:

 

contoh soal logaritma natural

sebuah benda bergerak dengan kelajuan yang berbanding terbalik dengan waktu t. pada t=1 jarak benda dari titik awal adalah 2 m dan pada t=e jarak benda dari titik awal adalah 10 m. berapakah jarak benda dari titik awal setelah 1 menit dan berapa kecepatannya saat itu?

Penyelesaian:

Menentukan koefisien k dan konstanta c

 

 

Persamaan umumnya dalam kasus ini adalah

 

Maka pada t=1menit=60detik jaraknya adalah

$s=8ln60+2=34,76m$

Kecepatannya adalah

 

 

                 

 

 

rumus logaritma natural di excel

untuk menentukan logaritma natural suatu bilangan di excel digunakan rumus $=LN(num)$.

Pengetikan rumus logaritma natural di excel tidak case sensitive (kasus sensitif) misalnya jika kita mengetikan

$=ln()$, atau $=Ln()$ atau $=lN()$ semuanya akan dianggap sebagai $=LN()$.

Pemakaian tanda kurung buka hukumnya “harus” sedangkan kurung tutup hukumnya “tidak harus” sebagai contoh untuk menentukan nilai $ln7$ di sel kita ketikan $=ln(7)$ atau $=ln(7$.

Jika tidak memakai tanda kurung maka akan dihitung nol untuk bilangan positif apa saja

 

Error pengetikan

- memakai spasi setelah $LN$ dengan atau tanpa tanda kurung.

 

- tidak pakai spasi tapi hanya kurung tutup saja maka akan terjadi error.

 

logaritma natural banyak bilangan

Untuk menentukan logaritma natural banyak bilangan misalnya di kolom C yang dimulai dari sel C5, pada sel D5 ketikan $=ln(c5)$

 

Klik kanan pada sel D5 dan pilih copy.

Sorot sel D6 hingga sel D12

Klik kanan dan pilih paste fx

 

rumus logaritma natural bilangan kompleks di excel

rumus logaritma natural di excel lainnya adalah rumus logaritma natural bilangan kompleks. Di excel rumusnya

$IMLN(“a+bi”)$.

Contoh

Perhatikan, pemakaian tanda petik hukumnya “harus” jika tidak, bakal error.